Insieme aperto

Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.

Spazi topologici

La topologia è l'ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti; in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale; preso un insieme ${\displaystyle X,}$ se una qualunque collezione ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ di sottoinsiemi di ${\displaystyle X}$ soddisfa le proprietà riportate sotto, ${\displaystyle X}$ diventa uno spazio topologico, ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ viene chiamata topologia di ${\displaystyle X}$ e gli insiemi di ${\displaystyle {\mathcal {T}},}$ per definizione, i suoi aperti.

Perché la collezione ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ sia una topologia devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

1. l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ è ancora un insieme di ${\displaystyle {\mathcal {T}};}$
2. l'intersezione di un numero finito di insiemi di ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ è ancora un insieme di ${\displaystyle {\mathcal {T}};}$
3. l'insieme ${\displaystyle X}$ e l'insieme vuoto appartengono a ${\displaystyle {\mathcal {T}}.}$

Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$ È da notare che se si considera uno stesso insieme ${\displaystyle X}$ con due diverse topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {T}}',}$ si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo "naturale", indicare l'insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.

Spazi metrici

In uno spazio metrico ${\displaystyle (M,d)}$, un sottoinsieme ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle M}$ si dice aperto se, per ogni ${\displaystyle x\in U}$, esiste un numero reale ${\displaystyle \epsilon >0}$ tale che i punti che distano da ${\displaystyle x}$ per meno di ${\displaystyle \epsilon }$ appartengono ancora a ${\displaystyle U}$. Formalmente: se ${\displaystyle d(x,y)<\epsilon }$, allora ${\displaystyle y\in U}$. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di ${\displaystyle M}$ secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).

Spazio euclideo

Lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è un particolare spazio metrico. Un insieme aperto ${\displaystyle U}$ dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle U}$ esiste una palla di raggio ${\displaystyle r>0}$ centrata in ${\displaystyle x}$, interamente contenuta in ${\displaystyle U}$.

In particolare, un intervallo in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è aperto se è del tipo ${\displaystyle (a,b)}$, dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ possono anche essere rispettivamente ${\displaystyle -\infty }$ e ${\displaystyle \infty }$.

Insieme chiuso

A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di insieme chiuso. In generale, un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un teorema.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
• (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

Voci correlate

• Insieme chiuso
• Intorno

Collegamenti esterni

• (EN) open set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Open Set, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Insieme aperto, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.